Aritalab:Lecture/Math/Groebner

グレブナ基底の応用

イデアル所属問題

与えられたイデアル I = < f₁, ... , f_s > に対して、多項式 f が I に所属するかがわかる。

例

I = < f₁, f₂ > = < xz − y², x³ − z² > とおく。 f = − 4 x²y²z² + y⁶ + 3z⁵ とする。ここで f ∈ I かどうかを知りたい。

まず xz − y², x³ − z² は I のグレブナ基底ではない。f₁, f₂ のS-pairの先頭項は LT( − x²y² + z³ ) = -x²y² を含むが、これは < LT(f₁), LT(f₂) > = < xz, x³ > には属さない。

そこでまず I のグレブナ基底を計算する。

G = ( f₁, f₂, f₃, f₄, f₅ ) = ( xz - y², x³ - z², x²y² - z³, x y⁴ - z⁴, y⁶ - z⁵ )

これは簡約グレブナ基底である。そして多項式が I に属するかどうかを割り算で判定できる。

f = 0 * f₁ + 0 * f₂ − 4 z² f₃ + 0 * f₄ + 1 * f₅ + 0

したがって f ∈ I となる。

多項式の連立方程式の解

例

連立方程式

x² + y² + z² = 1

x² + z² = y

x = z

を考える。この方程式はイデアル I = < x² + y² + z² − 1, x² + z² − y, x − z > を与え、これの解空間を求めたい。

ここで lex 順序によってグレブナ基底を計算する。

g₁ = x − z

g₂ = − y + 2 z²

g₃ = z⁴ + (1/2)z² - 1/4

特に g₃ の多項式は z のみを使っており、これは運よく簡単に解くことができる。

z = &pm; (1/2) ( &pm; &sqrt 5 - 1 )^1/2

となる。4つある z の値を g₁ , g₂ に代入すると x , y の値も一意に決まる。すなわち、もとの連立方程式の解は 4 組あることがわかる。とりわけ lex 順序を使うことが重要である。3章において、lex順序が変数を順番に消去する方法に対応することを学ぶ。

陰関数表示化

パラメータ t₁, ... , t_m を用いて記述される方程式系

x₁ = f₁( t₁, ... , t_m )

...

x_n = f_n( t₁, ... , t_m )

を考える。ここからパラメータを消去して x_i による多項式を求めるにはどうすればよいか。f_i を多項式として、 t₁, ... , t_m, x₁, ... , x_n という lex 順序でグレブナ基底を求めると、t_i のほうから順に変数が消去されると期待できる。

例

パラメータ表示された曲線 V を考えよう。

x = t⁴

y = t³

z = t²

これを t, x, y, z という lex 順序でイデアル I = < t⁴ − x, t³ − y, t² − z > のグレブナ基底を計算する。

G = { − t² + z, ty − z², tz − y, x - z², y² - z³ }

最後の二つの多項式 x - z², y² - z³ は t を含まない。この基底に相当する多様体は V を含んでいる。問題は

x − z² = 0

y² − z³ = 0

という1次元の曲線と V との関係にある。これは一致するらしいが、その証明には 3 章の知識が必要になる。

例

同じように

x = t + u

y = t² + 2 tu

z = t³ + 3 t²u

を考えてみよう。t, u, x, y, z という lex 順序でグレブナ基底を計算すると、 x, y, z だけに依存する基底を同じように求められる。