Aritalab:Lecture/Basic/Inequality
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正の整数 ''k'' に対し、確率 1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0 をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math> となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。 | 正の整数 ''k'' に対し、確率 1/''k'' で ''k'' '''E'''[''X''] をとり、確率 (1- 1/''k'') で 0 をとる確率変数 ''X'' を考える。 このときマルコフの不等式は <math>\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k</math> となるが、定義より <math>\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k</math> なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。 | ||
この分布の分散は <math>\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2</math> となる。チェビシェフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2</math> を与える。 | この分布の分散は <math>\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2</math> となる。チェビシェフの不等式は <math>\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2</math> を与える。 | ||
Revision as of 09:46, 8 July 2010
Contents |
分散とモーメント
[定義] E[
] を確率変数 X の k次モーメントと呼ぶ。
[定義] 確率変数 X の分散は
![\mathbf{Var}[X] = \mathbf{E}[(X-\mathbf{E}[X])^2] = \mathbf{E}[X^2] - (E[X])^2](/mediawiki/images/math/0/9/a/09a2cee744e122ad5f2ca4fc6adb2fea.png)
[定義] 確率変数 X の標準偏差 
は
![\sigma[X] = \sqrt{\mathbf{Var}[X]}](/mediawiki/images/math/e/e/c/eecb8fb7e6648064b8af6f867df16daf.png)
Markovの不等式
確率変数 X と a > 0 に対し
![\textstyle \mbox{Pr}(|X| \geq a) \leq \mathbf{E}[|X|]/a](/mediawiki/images/math/b/8/1/b81f064c5185a8725a538245f64ce320.png)
をマルコフの不等式と呼ぶ。証明は随所に見られるので省略する。
Chebyshevの不等式
確率変数 X と a > 0 に対し
![\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq a) \leq \mathbf{Var}[X]/a^2](/mediawiki/images/math/b/3/5/b35844972c499d2207c8d5afbeab5bad.png)
をチェビシェフの不等式と呼ぶ。証明には、![\mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq a) = \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]|^2 \geq a^2)](/mediawiki/images/math/b/1/c/b1ca3a25d1e20650cc30ff0cfdc183f7.png)
に対してマルコフの不等式を適用する。
MarkovとChebyshevの違い
一様分布
正の整数 k に対し、確率 1/k で k E[X] をとり、確率 (1- 1/k) で 0 をとる確率変数 X を考える。 このときマルコフの不等式は ![\mbox{Pr}(X \geq k\mathbf{E}[X] ) \leq 1/k](/mediawiki/images/math/f/a/6/fa61d3a78feb1b99a854c6f59e378b5f.png)
となるが、定義より ![\mbox{Pr}(X = k\mathbf{E}[X])=1/k](/mediawiki/images/math/0/3/b/03bdf8226f930dd19b70a7da9eedf1f6.png)
なので等号が成立する。つまり不等式が十分「きつい」例になっている。
この分布の分散は ![\textstyle \frac{k^2}{k}(\mathbf{E}[X])^2 - (\mathbf{E}[X])^2 = (k-1)(\mathbf{E}[X])^2](/mediawiki/images/math/4/e/0/4e0677394915be22532c5e6324030f82.png)
となる。チェビシェフの不等式は ![\textstyle \mbox{Pr}(|X - \mathbf{E}[X]| \geq k\mathbf{E}[X]) \leq (k-1)/k^2](/mediawiki/images/math/9/1/4/914e1c862b0648c4e7ff7ec62d81a743.png)
を与える。
