Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Zipf - Revision history

Adm: /* 線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値 */

2011-08-11T13:07:35Z

‎線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値

Adm: /* 線分を s 個に分割した時の長さの差の期待値 */

2011-08-11T13:00:02Z

‎線分を s 個に分割した時の長さの差の期待値

Adm: /* 線分を s 個に分割した時の長さの期待値 */

2011-08-11T12:53:12Z

‎線分を s 個に分割した時の長さの期待値

Adm: /* 線分を s 個に分割した時の長さの期待値 */

2011-08-11T12:52:45Z

‎線分を s 個に分割した時の長さの期待値

Adm: /* ランダムに 2 点をとったとき、 2 点間の距離の分布 */

2011-08-11T12:50:39Z

‎ランダムに 2 点をとったとき、 2 点間の距離の分布

Adm: /* 線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値 */

2011-08-11T01:06:43Z

‎線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値

Adm: /* ランダムな分割 */

2011-08-11T01:03:32Z

‎ランダムな分割

Adm at 05:27, 21 July 2011

2011-07-21T05:27:56Z

Adm: /* ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布 */

2011-07-21T04:32:21Z

‎ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布

Adm: /* ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布 */

2011-07-21T04:31:43Z

‎ランダムに 2 点をとる作業を n 回繰り返したとき、r 番目の距離の分布

@@ Line 133: / Line 133: @@
 ===線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値===
-線分の差である ''d_i'' の期待値から、初めに仮定した ''l'' の期待値を求めましょう。
+線分の差である d<sub>i</sub> の期待値から、初めに仮定した ''l'' の期待値を求めましょう。
+短い方から i 番目の長さは
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 140: / Line 140: @@
 E[l_3] &= \textstyle l_1 + d_1 + d_2 = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s(s-1)} + \frac{1}{s(s-2)}\\
 \cdots \\
-E[l_i] &= \textstyle \frac{1}{s}\sum^{i-1}_{j=0}\frac{1}{s-j}
+E[l_i] &= \textstyle \frac{1}{s}\sum^{i-1}_{j=0}\frac{1}{s-j}\\
 \end{align}
 </math>
-同様に長いほうから順番に並べた場合は i 番目の長さは
+同様に、長いほうから順番に並べた場合は i 番目の長さは
 :<math>
 \begin{align}

@@ Line 99: / Line 99: @@
 :<math>
-d_1 = l_2 - l_1,\ d_2 = l_3 - l_2,\ \cdots d_{s-2} = l_{s-1} - l_{s-2}, d_{s-1} = l_s - l_{s-1}
+\begin{align}
 </math>
@@ Line 119: / Line 125: @@
 :<math>\textstyle
-E[l_1] = \frac{1}{s^2},\ E[d_1] = \frac{1}{s(s-1)},\ E[d_2] = \frac{1}{s(s-2)},\ \cdots E[d_i] = \frac{1}{s(s-i)},\ \cdots E[d_{s-1}] = \frac{1}{s}
+E[l_1] = \frac{1}{s^2},\ E[d_1] = \frac{1}{s(s-1)},\ E[d_2] = \frac{1}{s(s-2)},\ \cdots
 </math>

@@ Line 91: / Line 91: @@
 期待値は
 : <math>\int^1_0 x f_s(x) dx = - \int^1_0 (1-x)^{s-1} dx
-= - \frac{1}{s} \big[ (1-x)^s \big]^1_0 = \frac{1}{s}</math>
+= - \frac{1}{s} \Big[ (1-x)^s \Big]^1_0 = \frac{1}{s}</math>
 ===線分を s 個に分割した時の長さの差の期待値===

@@ Line 91: / Line 91: @@
 期待値は
 : <math>\int^1_0 x f_s(x) dx = - \int^1_0 (1-x)^{s-1} dx
-= - \frac{1}{s} [ (1-x)^s ]^1_0 = \frac{1}{s}</math>
+= - \frac{1}{s} \big[ (1-x)^s \big]^1_0 = \frac{1}{s}</math>
 ===線分を s 個に分割した時の長さの差の期待値===

@@ Line 20: / Line 20: @@
 y から x 離れた地点を両側にとれます。2 番目の点が x と x + dx の間に落ちる確率は 2(1-2x) dx です。
-結局、2 点間の距離の確率は <math>\,f(x) dx = 2 x dx + 2 (1-2x) dx = 2(1-x)dx</math> で与えられます。平均値は 1/3 になります。
+結局、2 点間の距離の確率は以下のようになります。
 :<math>

@@ Line 135: / Line 135: @@
 \begin{align}
 E[l_i] &= \textstyle\frac{1}{s}\sum^{s-i}_{j=0}\frac{1}{s-j}\\
-&= \textstyle\frac{1}{s}(\sum^{s}_{j=1}\frac{1}{j} - \sum^{i-1}{j=1}\frac{1}{j})\\
+&= \textstyle\frac{1}{s}(\sum^{s}_{j=1}\frac{1}{j} - \sum^{i-1}_{j=1}\frac{1}{j})\\
 &\simeq \textstyle\frac{1}{s} \log\frac{s}{i-1}
 \end{align}
 </math>

@@ Line 78: / Line 78: @@
 ==ランダムな分割==
-===線分を s 個に分割したときの長さの期待値===
+===線分を s 個に分割した時の長さの期待値===
 線分 [0,1] をランダムに s 分割するとき、得られる線分の長さを短いものから長いものに並べ替えて <math>l_1, l_2, \cdots, l_s</math> と書きましょう。ここで <math>l_1< l_2 < \cdots < l_s </math> また <math>\textstyle \sum^s_{i=1} l_i =1</math> です。
@@ Line 84: / Line 95: @@
 :<math>
-d_1 = l_2 - l_1,\ d_2 = l_3 - l_2,\ \cdots d_{s-2} = l_{s-1} - l_{s}, d_{s-1} = l_s - l_{s-1}
+d_1 = l_2 - l_1,\ d_2 = l_3 - l_2,\ \cdots d_{s-2} = l_{s-1} - l_{s-2}, d_{s-1} = l_s - l_{s-1}
 </math>
@@ Line 96: / Line 107: @@
 </math>
-ここで全ての線分は等しい仮定の下に置かれていて期待値が等しいことを利用します<ref>Whitworth WA (1934) Choice and Chance ''Steicher'' New York</ref><ref>Pielou (1975) Ecologial Diversity ''Wiley'' New York</ref>。
+ここで、新たに 1 点を追加する過程を考えましょう。ランダムに追加する 1 点は <math>sl_1</math> の確率で（ s + 1 個に増えたときに）最短の線分を作り、<math>(s-1)d_1</math> の確率で 2 番目に短い線分を作り、<math>(s-2)d_2</math> の確率で 3 番目に短い線分を作ります。しかし、どの線分も全て等確率で生じるはずなので、結果として以下が成立します。
-−
 :<math>\textstyle
 E[sl_1] = E[(s-1)d_1] = E[(s-2)d_2] = \cdots = E[d_{s-1}] = \frac{1}{s}
@@ Line 108: / Line 118: @@
 </math>
-初めに仮定した ''l'' の形に戻しましょう。
+===線分を s 個に分割してから順位づけした時の期待値===
 :<math>
@@ Line 120: / Line 132: @@
 同様に長いほうから順番に並べた場合は i 番目の長さは
-:<math>\textstyle
+:<math>
-E[l_i] = \frac{1}{s}\sum^{s-i}_{j=0}\frac{1}{s-j}
+\begin{align}
 </math>

@@ Line 63: / Line 63: @@
 :<math>
 \begin{align}
-E[g_1(x)] &= 1 - n! \cdot \frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma((n+1)+ 1/2)} \\
+E[g_1(x)] &= 1 - n! \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(n + \frac{3}{2})} \\
-&= 1 - \frac{ 2^{2n+1} n! (n+1)!}{(2n + 2)!}\\
+&= 1 - \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{n!}{\Gamma(n + \frac{3}{2})}
 \end{align}
 </math>

@@ Line 36: / Line 36: @@
 </math>
-n 回繰り返したときに、r 番目に長い区間が x である確率 <math>g_r(x)</math> は r &minus; 1 個が x より短く、n &minus; r 個が、より長い区間であることに相当します。
+n 回繰り返したときに、r 番目に長い区間が x である確率 <math>g_r(x)</math> は r &minus; 1 個が x より長く、n &minus; r 個が、より短い区間であることに相当します。
 :<math>