Adm at 20:46, 13 July 2011

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Adm: /* 固定点 (b/t,(a - rx^)/s) の場合 /

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‎固定点 (b/t,(a - rx^*)/s) の場合

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==系の安定性==
一般的な 2 次元の系 <math>f(x, y),\, g(x,y)</math> を考え、固定点 (= 時間依存しない解のこと。不動点とも呼ぶ) を <math>(x^*, y^*)</math> としましょう。

:<math>f(x^*, y^*) = 0,\ g(x^*, y^*) = 0</math>

固定点に近い位置を <math> x = x^* + \epsilon_x,\ y = y^* + \epsilon_y</math> と書いて一次項まで近似すると

:<math>
\begin{align}
\frac{df}{dt} &= \frac{d\epsilon}{dt} = f(x^* + \epsilon_x, y^* + \epsilon_y)\\
&= f(x^*, y^*) + \epsilon_x f^{(x)}(x^*, y^*) + \epsilon_y f^{(y)}(x^*, y^*) + \cdots \\
&\simeq \epsilon_x f^{(x)}(x^*, y^*) + \epsilon_y f^{(y)}(x^*, y^*)
\end{align}
</math>

となります。関数 ''g'' についても同様です。これをヤコビ行列の形に書けば
:<math>
\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{J} \boldsymbol{\epsilon}
</math>
です。ヤコビアンの簡単な場合として対角行列を考えましょう。
:<math>
\binom{\frac{d \epsilon_x}{d t}}{\frac{d \epsilon_y}{d t}}
= \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix} \binom{\epsilon_x}{\epsilon_y}
</math>
この解は以下のようになります。
:<math>
\epsilon_x(t) = \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \
\epsilon_y(t) = \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}
</math>
''x'', ''y'' について書き直すと以下になります。
:<math>
x(t) = x^* + \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \
y(t) = y^* + \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}
</math>
つまり <math>\lambda_1, \lambda_2</math> の値（それぞれ固定点における関数 ''f'', ''g'' の微分値) が共に負であれば <math>(x^*, y^*)</math> は誘引点、共に正であれば反発点、片方だけ負であれば鞍点 (saddle point) となります。

ヤコビアンが対角行列でない場合、行がヤコビアンの左固有ベクトルに対応する行列 <math>\mathbf{Q}</math> を用意し、<math>\xi_x, \xi_y</math> を定義します。

:<math>\boldsymbol{\xi} = \mathbf{Q}\boldsymbol{\epsilon}</math>
:<math>\frac{d \boldsymbol{\xi}}{dt} = \mathbf{Q}\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} = \mathbf{QJ} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{QJQ^{-1}} \boldsymbol{\xi}
</math>

もし <math>\mathbf{J}</math> が固有値を持つならば　<math>\mathbf{QJQ^{-1}}</math> によって対角化することで <math>\xi_x, \xi_y</math> が互いに独立に時間発展することになります。

固有値が複素数になる場合 <math>\lambda_k = \alpha + i \omega\ (k = 1,2)</math>、一般解は指数的に増減する部分と振動する部分の積になります (''C'': 虚数, ''A, B'': 実数)。
:<math>\, \xi_k(t) = \mbox{Re}[ C e^{(\alpha+ i\omega)t}] = e^{\alpha t} (A \cos \omega t + B \sin \omega t)</math>
パラメータ α が負の場合は固定点に落ち込むスパイラル（安定点）になり、正の場合は固定点から遠ざかる不安定点です。一点に落ち込むことなく、安定した軌道を描く場合もあります。これをリミットサイクルと呼びます。

==ロトカ・ヴォルテラ方程式==
生態系の解析では、被食者 x と捕食者 y を扱うものが多くあります。以下の仮定を考えます。
# 被食者は一定割合 ''a'' で増加するが、個体数が多くなりすぎると餌不足で増加率が減少する。
# 捕食者は一定割合 ''b'' で死滅する。
以下の方程式を考えます。''a'', ''b'', ''r'', ''s'', ''t'' は全て正のパラメータです。

:<math>
\begin{align}
\frac{dx}{dt} &= (a - rx - sy)x\\
\frac{dy}{dt} &= (-b + tx)y
\end{align}
</math>

固定点は <math>(x^*,y^*) = (0,0),\ (b/t,(a - rx^*)/s)</math> です。周辺の挙動をみてみます。

:<math>
\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon} =
\begin{pmatrix}
a - 2rx^* - sy^* & -sx^* \\
ty^* & -b + tx^*
\end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon}
</math>

行列の固有方程式
:<math>\,
\lambda^2 - (J_{11} + J_{22})\lambda + J_{11}J_{22}-J_{12}J_{21} = 0
</math>
を考え、固有値がともに負になるかを検討します。

====固定点(0,0)の場合 ====
ヤコビアンは
<math>
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & -b
\end{pmatrix}
</math>
です。固有値の一方だけ負なので、これは鞍点です。
====固定点 <math>(b/t,(a - rx^*)/s)</math> の場合====
ヤコビアンは
<math>
\begin{pmatrix}
0 & -s x^*\\
t y^* & 0
\end{pmatrix}
</math>
です。この場合の固有値は複素数となり、実数部分を持ちません。そのため、固定点に落ち込んでいくことのない（吸引的でない）安定点になります。
この方程式で ''r'' = 0 とおいた場合が、大変有名なロトカ・ヴォルテラ方程式です。

@@ Line 94: / Line 94: @@
 </math>
 です。固有値の一方だけ負なので、これは鞍点です。
-====固定点 <math>(b/t,\ (a - rx^*)/s)</math> の場合====
+====固定点 <math>(b/t, (a - rx^*)/s)</math> の場合====
 ヤコビアンは
 <math>

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