Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random Walk - Revision history

Adm: /* 再帰確率 */

2015-08-27T06:01:36Z

‎再帰確率

Eve at 00:04, 9 September 2012

2012-09-09T00:04:45Z

Adm: /* 再帰確率 */

2011-10-27T15:07:02Z

‎再帰確率

Adm: /* 再帰確率 */

2011-10-27T14:45:21Z

‎再帰確率

Adm: /* 二項係数 */

2011-10-27T14:42:18Z

‎二項係数

Adm at 04:20, 27 October 2011

2011-10-27T04:20:39Z

Adm: /* 3次元ランダムウォーク */

2011-10-27T04:12:55Z

‎3次元ランダムウォーク

Adm: /* 2次元ランダムウォーク */

2011-10-27T04:12:10Z

‎2次元ランダムウォーク

Adm: /* 3次元ランダムウォーク */

2011-10-27T04:06:40Z

‎3次元ランダムウォーク

Adm: /* 二項係数 */

2011-10-27T04:02:01Z

‎二項係数

@@ Line 57: / Line 57: @@
 * 再帰確率 <math>\, r =  1 - | p - q | </math>
 * 再帰確率が ''r'' < 1 のときに原点に戻ってくる回数の期待値 <math>\textstyle \frac{r}{1-r} = \frac{1}{|2p - 1|} - 1</math>
-となります。
+となります。<ref>
 {{GenerateIndex|Aritalab|Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Recurrence|3}}

@@ Line 159: / Line 159: @@
 また
 <math>\textstyle
 \bar \pi {\mathbf P}
 = \sum_{u \in adj(v)} \pi_u \frac{1}{d(u)}
 = \sum_{u \in adj(v)} \frac{1}{2 |E|} = \frac{d(v)}{2|E|} = \bar \pi

@@ Line 52: / Line 52: @@
 * 移動距離の期待値 <math>\textstyle \sqrt{(p-q)^2n^2 + 4pqn} </math>
-===[[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Recurrence|再帰確率]]===
+===再帰確率===
 原点から出発したランダムウォークが原点に戻ってくる確率を再帰確率といいます。一次元ランダムウォークの場合

@@ Line 57: / Line 57: @@
 * 再帰確率 <math>\, r =  1 - | p - q | </math>
 * 再帰確率が ''r'' < 1 のときに原点に戻ってくる回数の期待値 <math>\textstyle \frac{r}{1-r} = \frac{1}{|2p - 1|} - 1</math>
-となります。([[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Recurrence|詳細]])
+となります。
 ===[[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Reflection|反射壁と吸収壁]]===

@@ Line 58: / Line 58: @@
 * 再帰確率が ''r'' < 1 のときに原点に戻ってくる回数の期待値 <math>\textstyle \frac{r}{1-r} = \frac{1}{|2p - 1|} - 1</math>
 となります。([[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Recurrence|詳細]])
 ===[[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Reflection|反射壁と吸収壁]]===

← Older revision		Revision as of 04:20, 27 October 2011
Line 140:		Line 140:

	原点に戻る回数の総計が有限となるため <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{000} = \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{c}{n^{3/2}} < \infty \ (c = const.)</math>、空間全体は再帰不確実 (transient) です。		原点に戻る回数の総計が有限となるため <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{000} = \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{c}{n^{3/2}} < \infty \ (c = const.)</math>、空間全体は再帰不確実 (transient) です。
		+
		+	ここまでのランダムウォークをみると、m 次元ランダムウォークは
		+
		+	<math>
		+	p^{(2n)}_{0^m} \leq c/(\sqrt{\pi n})^{m/2}
		+	</math>
		+
		+	であることが予想されます。3 次元以降はすべて非再帰的になります。
		+

	==拡散係数==		==拡散係数==

@@ Line 139: / Line 139: @@
 </math>
-再帰確率が <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{000} = \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{c}{n^{3/2}} < \infty \ (c = const.)</math> となるため、空間全体は再帰不確実 (transient) です。
+原点に戻る回数の総計が有限となるため <math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{000} = \textstyle\sum^{\infty}_{n=0} \frac{c}{n^{3/2}} < \infty \ (c = const.)</math>、空間全体は再帰不確実 (transient) です。
 ==拡散係数==

@@ Line 107: / Line 107: @@
 </math>
-原点に戻る確率は n &rarr; &infin; のとき 0 に収束するため、原点はゼロ再帰性を満たします。全ての点が同値類に属すので、平面全体がゼロ再帰性（定常分布 &mu;<sub>ij</sub> = 0) となります。
+原点に戻る回数の総計は発散しますが（再帰確実）、 <math>p^{(2n)}_{00} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0</math> のため、原点はゼロ再帰性を満たします。全ての点は同値類に属すので、平面全体がゼロ再帰性（定常分布 &pi;<sub>ij</sub> = 0) となります。
 ==3次元ランダムウォーク==

@@ Line 115: / Line 115: @@
 <math>
 \begin{align}
-p^{(2n)}_{00} &= \textstyle\sum_{(j+k)\leq n} \frac{(2n)!}{(k!)^2 (j!)^2 [(n-k-j)!]^2} \big( \frac{1}{6} \big)^{2n} \\
+p^{(2n)}_{000} &= \textstyle\sum_{(j+k)\leq n} \frac{(2n)!}{(k!)^2 (j!)^2 [(n-k-j)!]^2} \big( \frac{1}{6} \big)^{2n} \\
 &=\textstyle\frac{(2n)!}{(n!)^2 2^{2n}} \sum_{(j+k)\leq n} \big( \frac{n!}{k!j!(n-k-j)!} \big)^2 \big( \frac{1}{3} \big)^{2n} \\
 \end{align}
 </math>
 ==拡散係数==

@@ Line 60: / Line 60: @@
 ===二項係数===
-左右に移動する確率がそれぞれ p, q のランダムウォークを考えます。原点から出発して 2n ステップ後に再び原点に戻っている確率 p(2n) は、左右にちょうど n 回ずつ移動すればよいので
+左右に移動する確率がそれぞれ p, q のランダムウォークを考えます。原点から出発して 2n ステップ後に再び原点に戻っている確率 <math>p^{(2n)}_{0}</math> は、左右にちょうど n 回ずつ移動すればよいので
-<math>\textstyle p(2n) = \frac{2n!}{n! n!} p^n q^n \ </math>
+<math>\textstyle p^{(2n)}_{0} = \frac{2n!}{n! n!} p^n q^n \ </math>
 ここで p(0) = 1 です。スターリングの近似式 <math> n! \sim n^n e^{-n} \sqrt{2\pi n}</math> を使うと
 <math>\textstyle
-p(2n) = \frac{2n!}{n! n!} p^{n} q^{n} \sim \frac{(2n)^{2n}e^{-2n} \sqrt{4 \pi n}}{n^{2n} e^{-2n} 2\pi n } p^{n} q^{n} = \frac{(4pq)^n}{\sqrt{\pi n}}
+p^{(2n)}_{0} = \frac{2n!}{n! n!} p^{n} q^{n} \sim \frac{(2n)^{2n}e^{-2n} \sqrt{4 \pi n}}{n^{2n} e^{-2n} 2\pi n } p^{n} q^{n} = \frac{(4pq)^n}{\sqrt{\pi n}}
 </math>
@@ Line 73: / Line 73: @@
 * p = q = 1/2 のとき 4pq = 1
-:<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p(2n) \sim \sum^{\infty}_{n=0} 1/\sqrt{\pi n} > (1/\sqrt{\pi}) \sum 1/n = \infty </math> なので原点には無限回戻ってくることになり、再帰確実です。
+:<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{0} \sim \sum^{\infty}_{n=0} 1/\sqrt{\pi n} > (1/\sqrt{\pi}) \sum 1/n = \infty </math> なので原点には無限回戻ってくることになり、再帰確実です。
 * p &ne; 1/2 のとき 4pq < 1
-:<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p(2n) \sim (1/\sqrt{\pi})\sum^{\infty}_{n=0} (4pq)^n/\sqrt{n} \rightarrow N < \infty</math> なので、有限の値に収束し、非再帰的（再帰不確実）です。
+:<math>\textstyle\sum^{\infty}_{n=0} p^{(2n)}_{0} \sim (1/\sqrt{\pi})\sum^{\infty}_{n=0} (4pq)^n/\sqrt{n} \rightarrow N < \infty</math> なので、有限の値に収束し、非再帰的（再帰不確実）です。
 ===[[Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Random_Walk/Reflection|反射壁と吸収壁]]===