Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator - Revision history

Adm: /* N個の振動子 */

2011-07-14T00:56:37Z

‎N個の振動子

Adm: /* 2つの振動子 */

2011-07-14T00:47:37Z

‎2つの振動子

Adm: /* N個の振動子 */

2011-07-14T00:30:13Z

‎N個の振動子

Adm: /* N個の振動子 */

2011-07-13T21:11:05Z

‎N個の振動子

Adm: /* N個の振動子 */

2011-07-13T21:10:40Z

‎N個の振動子

Adm at 15:11, 13 July 2011

2011-07-13T15:11:41Z

Adm: /* 系の安定性 */

2011-07-13T07:54:46Z

‎系の安定性

Adm at 07:07, 13 July 2011

2011-07-13T07:07:22Z

Adm at 04:41, 13 July 2011

2011-07-13T04:41:11Z

Adm: New page: ==結合振動子== 自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も...

2010-07-08T00:41:51Z

New page: ==結合振動子== 自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も...

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==結合振動子==
自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。
同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考える。

===2つの振動子===
振動子の振る舞いは以下の式で記述される。
:<math>
\begin{align}
\textstyle
\frac{d\theta_1}{dt} &= \omega_1 + k \sin(\theta_2 - \theta_1) \\
\textstyle
\frac{d\theta_2}{dt} &= \omega_2 - k \sin(\theta_2 - \theta_1)
\end{align}
</math>
<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数をあらわす。また <math>k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与える。
周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速する。

''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定する。
もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えよう。
:<math>
\textstyle
\frac{d\phi}{dt} = \omega_2 - \omega_1 - 2 k \sin \phi
</math>
定常状態では　<math>\textstyle \frac{d\phi}{dt} = 0</math> だから

:<math>
\textstyle
\sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}
</math>、つまり<math>
\textstyle
\phi = \arcsin \big(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2k}\big)
</math> (<math>\textstyle 0 < \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k} \leq 1</math>)

値 <math>\phi</math> 付近の振動子の振る舞いをみる。
関数<math>y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正のy切片を持ち <math>-\sin \phi</math>の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻る。よって ''k'' の値によって以下の場合がある。

* ''k'' が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち <math>0 < \phi < \pi/2</math> となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
* ''k'' が適切な値で極小値が0の場合: 解を1つ持つ。この値は不安定解になる。
* ''k'' が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。

結論として、<math>\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1</math> を満たす臨界値 <math>k_c</math> が存在し、この値より ''k'' が大きい場合は安定解 <math>\phi^*</math> が存在する。
それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはない。

===N個の振動子===
振動子が''N''個の場合は

:<math>
\textstyle
\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + \sum^N_{j=1}k_{ij}\sin(\theta_j - \theta_i)
</math>

結合する振動子どうしは <math>k_{ij} = 1</math> それ以外は 0 とする。
全ての振動子が結合した完全グラフの場合は、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解けることが知られている（蔵本モデル）。

（ここから先、アイデアのみ）
振動子集団（平均場）の位相 <math>\psi</math> を用いて
:<math>
\textstyle
\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + k\sum^N_{j=1}\sin(\psi - \theta_i)
</math>
と簡略化することで解くことができる。

@@ Line 63: / Line 63: @@
 \frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j )
 </math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>\,e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref>
 このとき、振動子集団は見かけ上
@@ Line 72: / Line 70: @@
 \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi)
 </math>
-と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。
+と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。R の大きさによって同期するか否かが判断できます。
 ;参考
 <references/>

@@ Line 15: / Line 15: @@
 \end{align}
 </math>
-<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数です。また <math>\,k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。
+<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数です。また <math>\,k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。''k'' が相互作用の強さです。
 周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。
-''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定します。
+相互作用のパラメータ ''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定します。
 もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えましょう。
 :<math>
@@ Line 37: / Line 37: @@
 値 <math>\phi</math> 付近の振動子の振る舞いをみましょう。
-関数<math>\,y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正のy切片を持ち <math>-\sin \phi</math>の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻ります。よって ''k'' の値によって以下の場合があります。
+関数<math>y = -2k </math> <math> \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正の y 切片を持ち <math>-\sin \phi</math> の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻ります。よって ''k'' の値によって以下の場合があります。
 * ''k'' が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち <math>0 < \phi < \pi/2</math> となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。

@@ Line 57: / Line 57: @@
 全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます（蔵本モデル）。
-基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。
+基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。N 個の振動子を円周上を回る点と考えた際の重心にあたる値です。
 :<math>
 \textstyle
-\frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j ) = R e^{i\psi} = R (\cos \psi + i \sin \psi)
+\frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j )
-</math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref>
+</math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>\,e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref>
 このとき、振動子集団は見かけ上
 :<math>

← Older revision		Revision as of 21:11, 13 July 2011
Line 69:		Line 69:
	</math>		</math>
	と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。		と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。
		+
		+
		+	;参考
		+	<references/>

@@ Line 57: / Line 57: @@
 全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます（蔵本モデル）。
+基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。
-基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて
 :<math>
 \textstyle
-R e^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_i )
+\frac{1}{N}\sum^N_{j=1} \exp( i\theta_j ) = R e^{i\psi} = R (\cos \psi + i \sin \psi)
-</math>
+</math><ref>指数が虚数である指数関数の定義は <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math> である。</ref>
-平均化した近似を考えます(''R'' = 定数)。このとき、振動子集団は見かけ上
+このとき、振動子集団は見かけ上
 :<math>
 \textstyle
-\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi)
+\frac{d\theta_i}{dt} =
 </math>
 と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。

← Older revision		Revision as of 15:11, 13 July 2011
Line 1:		Line 1:
−	~~==系の安定性==~~
−	~~一般的な 2 次元の系 <math>f(x, y),\, g(x,y)</math> を考え、不動点を <math>(x^, y^)</math> としましょう。~~
−
−	~~:<math>f(x^, y^) = 0,\ g(x^, y^) = 0</math>~~
−
−	~~不動点に近い位置を <math> x = x^* + \epsilon_x\, y = y^* + \epsilon_y</math> と書くと~~
−
−	~~:<math>~~
−	~~\begin{align}~~
−	~~\frac{dx}{dt} &= \frac{d\epsilon_x}{dt} = f(x^* + \epsilon_x, y^* + \epsilon_y)\\~~
−	~~&= f(x^, y^) + e_x f^{(x)}(x^, y^) + e_y f^{(y)}(x^, y^) + \cdots \\~~
−	~~&\simeq \epsilon_x f^{(x)}(x^, y^) + \epsilon_y f^{(y)}(x^, y^)~~
−	~~\end{align}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~となります。関数 ''g'' についても同様です。これをヤコビ行列の形に書けば~~
−	~~:<math>~~
−	~~\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} =\begin{pmatrix}~~
−	~~\frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\~~
−	~~\frac{\delta g}{\delta x} & \frac{\delta g}{\delta y}~~
−	~~\end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{J} \boldsymbol{\epsilon}~~
−	~~</math>~~
−	~~です。ヤコビアンの簡単な場合として対角行列を考えましょう。~~
−	~~:<math>~~
−	~~\binom{\frac{d \epsilon_x}{d t}}{\frac{d \epsilon_y}{d t}}~~
−	~~= \begin{pmatrix}~~
−	~~\lambda_1 & 0 \\~~
−	~~0 & \lambda_2~~
−	~~\end{pmatrix} \binom{\epsilon_x}{\epsilon_y}~~
−	~~</math>~~
−	~~この解は以下のようになります。~~
−	~~:<math>~~
−	~~\epsilon_x(t) = \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \~~
−	~~\epsilon_y(t) = \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}~~
−	~~</math>~~
−	~~''x'', ''y'' について書き直すと以下になります。~~
−	~~:<math>~~
−	~~x(t) = x^* + \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \~~
−	~~y(t) = y^* + \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}~~
−	~~</math>~~
−	つまり <math>\lambda_1, \lambda_2</math> の値（それぞれ不動点における関数 ''f'', ''g'' の微分値) が共に負であれば <math>(x^, y^)</math> は誘引点、共に正であれば反発点、片方だけ負であれば鞍点 (saddle point) となります。
−
−	ヤコビアンが対角行列でない場合、行がヤコビアンの左固有ベクトルに対応する行列 <math>\mathbf{Q}</math> を用意し、<math>\xi_x, \xi_y</math> を定義します。
−
−	~~:<math>\boldsymbol{\xi} = \mathbf{Q}\boldsymbol{\epsilon}</math>~~
−	~~:<math>\frac{d \boldsymbol{\xi}}{dt} = \mathbf{Q}\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} = \mathbf{QJ} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{QJQ^{-1}} \boldsymbol{\xi}~~
−	~~</math>~~
−
−	もし <math>\mathbf{J}</math> の固有ベクトルを求めることができれば　<math>\mathbf{QJQ^{-1}}</math> が対角行列になり、<math>\xi_x, \xi_y</math> は互いに独立に時間発展することになります。
−
−	固有値が複素数になる場合 <math>\lambda_1 = \alpha + i \omega\,</math>、一般解は指数的に増減する部分と振動する部分の積になります (''C'': 虚数, ''A, B'': 実数)。
−	~~:<math>\, \xi_1(t) = \mbox{Re}[ C e^{(\alpha+ i\omega)t}] = e^{\alpha t} (A \cos \omega t + B \sin \omega t)</math>~~
−	パラメータ α が負の場合は不動点に落ち込むスパイラル（安定点）になり、正の場合は不動点から遠ざかる不安定点です。一点に落ち込むことなく、安定した軌道を描く場合もあります。これをリミットサイクルと呼びます。

	==結合振動子==		==結合振動子==

← Older revision		Revision as of 07:54, 13 July 2011
Line 3:		Line 3:

	:<math>f(x^, y^) = 0,\ g(x^, y^) = 0</math>		:<math>f(x^, y^) = 0,\ g(x^, y^) = 0</math>
		+
		+	不動点に近い位置を <math> x = x^* + \epsilon_x\, y = y^* + \epsilon_y</math> と書くと
		+
		+	:<math>
		+	\begin{align}
		+	\frac{dx}{dt} &= \frac{d\epsilon_x}{dt} = f(x^* + \epsilon_x, y^* + \epsilon_y)\\
		+	&= f(x^, y^) + e_x f^{(x)}(x^, y^) + e_y f^{(y)}(x^, y^) + \cdots \\
		+	&\simeq \epsilon_x f^{(x)}(x^, y^) + \epsilon_y f^{(y)}(x^, y^)
		+	\end{align}
		+	</math>
		+
		+	となります。関数 ''g'' についても同様です。これをヤコビ行列の形に書けば
		+	:<math>
		+	\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} =\begin{pmatrix}
		+	\frac{\delta f}{\delta x} & \frac{\delta f}{\delta y} \\
		+	\frac{\delta g}{\delta x} & \frac{\delta g}{\delta y}
		+	\end{pmatrix} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{J} \boldsymbol{\epsilon}
		+	</math>
		+	です。ヤコビアンの簡単な場合として対角行列を考えましょう。
		+	:<math>
		+	\binom{\frac{d \epsilon_x}{d t}}{\frac{d \epsilon_y}{d t}}
		+	= \begin{pmatrix}
		+	\lambda_1 & 0 \\
		+	0 & \lambda_2
		+	\end{pmatrix} \binom{\epsilon_x}{\epsilon_y}
		+	</math>
		+	この解は以下のようになります。
		+	:<math>
		+	\epsilon_x(t) = \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \
		+	\epsilon_y(t) = \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}
		+	</math>
		+	''x'', ''y'' について書き直すと以下になります。
		+	:<math>
		+	x(t) = x^* + \epsilon_x(0) e^{\lambda_1 t}, \
		+	y(t) = y^* + \epsilon_y(0) e^{\lambda_2 t}
		+	</math>
		+	つまり <math>\lambda_1, \lambda_2</math> の値（それぞれ不動点における関数 ''f'', ''g'' の微分値) が共に負であれば <math>(x^, y^)</math> は誘引点、共に正であれば反発点、片方だけ負であれば鞍点 (saddle point) となります。
		+
		+	ヤコビアンが対角行列でない場合、行がヤコビアンの左固有ベクトルに対応する行列 <math>\mathbf{Q}</math> を用意し、<math>\xi_x, \xi_y</math> を定義します。
		+
		+	:<math>\boldsymbol{\xi} = \mathbf{Q}\boldsymbol{\epsilon}</math>
		+	:<math>\frac{d \boldsymbol{\xi}}{dt} = \mathbf{Q}\frac{d \boldsymbol{\epsilon}}{dt} = \mathbf{QJ} \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{QJQ^{-1}} \boldsymbol{\xi}
		+	</math>
		+
		+	もし <math>\mathbf{J}</math> の固有ベクトルを求めることができれば　<math>\mathbf{QJQ^{-1}}</math> が対角行列になり、<math>\xi_x, \xi_y</math> は互いに独立に時間発展することになります。
		+
		+	固有値が複素数になる場合 <math>\lambda_1 = \alpha + i \omega\,</math>、一般解は指数的に増減する部分と振動する部分の積になります (''C'': 虚数, ''A, B'': 実数)。
		+	:<math>\, \xi_1(t) = \mbox{Re}[ C e^{(\alpha+ i\omega)t}] = e^{\alpha t} (A \cos \omega t + B \sin \omega t)</math>
		+	パラメータ α が負の場合は不動点に落ち込むスパイラル（安定点）になり、正の場合は不動点から遠ざかる不安定点です。一点に落ち込むことなく、安定した軌道を描く場合もあります。これをリミットサイクルと呼びます。

	==結合振動子==		==結合振動子==

← Older revision		Revision as of 07:07, 13 July 2011
Line 1:		Line 1:
		+	==系の安定性==
		+	一般的な 2 次元の系 <math>f(x, y),\, g(x,y)</math> を考え、不動点を <math>(x^, y^)</math> としましょう。
		+
		+	:<math>f(x^, y^) = 0,\ g(x^, y^) = 0</math>
		+
	==結合振動子==		==結合振動子==
	自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。		自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。

@@ Line 1: / Line 1: @@
 ==結合振動子==
-自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。
+自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考えましょう。
-同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も簡単な場合として2個の振動子を考える。
+この分野で最も重要な貢献をした統計物理学者が 蔵本由紀 です。
 ===2つの振動子===
-振動子の振る舞いは以下の式で記述される。
+振動子の振る舞いは以下の式で記述されます。
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 13: / Line 14: @@
 \end{align}
 </math>
-<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数をあらわす。また <math>k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与える。
+<math>\omega_i/2\pi</math> は ''i''　に固有の周波数です。また <math>\,k \sin(\theta_2 - \theta_1)</math> の部分は振動子どうしの引き込み項に対応し、位相の大きさによって周波数に影響を与えます。
-周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速する。
+周波数の差分 <math>\phi = \theta_2 - \theta_1</math> が <math> 0 < \phi < \pi</math> のとき（つまり振動子2が1より前にいるとき）は振動子1が加速して振動子2が減速し、逆に差分が <math> \pi < \phi < 2\pi</math> のときは振動子1が減速して振動子2が加速します。
-''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定する。
+''k'' (>0) が十分に大きければ振動子は同期、つまり共通の振動数をとって <math>\phi</math> が安定します。
-もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えよう。
+もし <math> \omega_1 = \omega_2</math> であれば ''k'' = 0 でも同期するため、一般性を失わずに <math> \omega_1 < \omega_2</math> と仮定して、上式の差分を考えましょう。
 :<math>
 \textstyle
@@ Line 34: / Line 35: @@
-値 <math>\phi</math> 付近の振動子の振る舞いをみる。
+値 <math>\phi</math> 付近の振動子の振る舞いをみましょう。
-関数<math>y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正のy切片を持ち <math>-\sin \phi</math>の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻る。よって ''k'' の値によって以下の場合がある。
+関数<math>\,y = -2k \sin \phi + (\omega_2 - \omega_1)</math> は正のy切片を持ち <math>-\sin \phi</math>の波形を描きながら <math>\phi = \pi/2</math> において極小値 <math>(\omega_2 - \omega_1) -2k</math>をとり、<math>\phi = \pi</math>において正の値に戻ります。よって ''k'' の値によって以下の場合があります。
 * ''k'' が大きく極小値が負の場合：　解を2つ持つ。そのうち <math>0 < \phi < \pi/2</math> となるほうは振動子2が振動子1の前にある状態で、安定解となる。もう片方は不安定解になる。
@@ Line 41: / Line 42: @@
 * ''k'' が0に近く、極小値が正の場合: 解を持たない。つまり定常状態が存在しない。
-結論として、<math>\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1</math> を満たす臨界値 <math>k_c</math> が存在し、この値より ''k'' が大きい場合は安定解 <math>\phi^*</math> が存在する。
+結論として、<math>\textstyle \sin \phi = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2k_c} = 1</math> を満たす臨界値 <math>k_c</math> が存在し、この値より ''k'' が大きい場合は安定解 <math>\phi^*</math> が存在します。
-それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはない。
+それと等しいか、小さい場合は安定解が存在せず、二つの振動子が同期することはありません。
 ===N個の振動子===
-振動子が''N''個の場合は
+振動子が ''N'' 個の場合は
 :<math>
 \textstyle
-\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + \sum^N_{j=1}k_{ij}\sin(\theta_j - \theta_i)
+\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + \frac{1}{N}\sum^N_{j=1}k_{ij}\sin(\theta_j - \theta_i)
 </math>
-結合する振動子どうしは <math>k_{ij} = 1</math> それ以外は 0 とする。
+結合する振動子どうしは <math>k_{ij} = 1</math> それ以外は 0 とします。
-全ての振動子が結合した完全グラフの場合は、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解けることが知られている（蔵本モデル）。
+全ての振動子が同数だけ ( ''K'' とします) 結合するグラフの場合、<math>N \rightarrow \infty</math> の極限において解くことができます（蔵本モデル）。
-（ここから先、アイデアのみ）
-振動子集団（平均場）の位相 <math>\psi</math> を用いて
+基本的なアイデアとして、集団としての振幅と位相をそれぞれ ''R'' (定数), ''&psi;'' とおいて
 :<math>
 \textstyle
-\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i + k\sum^N_{j=1}\sin(\psi - \theta_i)
+\frac{d\theta_i}{dt} = \omega_i - RK\sin(\theta_i - \psi)
 </math>
-と簡略化することで解くことができる。
+と簡略化でき、定常状態では <math>\textstyle \theta_i = \psi + \arcsin(\frac{\omega_i}{RK})</math>です。

Aritalab:Lecture/NetworkBiology/Coupled Oscillator - Revision history

Adm: /* N個の振動子 */

Adm: /* 2つの振動子 */

Adm: /* N個の振動子 */

Adm: /* N個の振動子 */

Adm: /* N個の振動子 */

Adm at 15:11, 13 July 2011

Adm: /* 系の安定性 */

Adm at 07:07, 13 July 2011

Adm at 04:41, 13 July 2011

Adm: New page: ==結合振動子== 自然振動にばらつきのある素子が相互作用する系を考える。 同期のしやすさはネットワークの形状によるが、ここでは最も...

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