Aritalab:Lecture/JSBi/Test/Math - Revision history

Adm at 06:35, 24 May 2011

2011-05-24T06:35:36Z

Adm at 05:23, 19 May 2011

2011-05-19T05:23:21Z

Adm at 06:55, 11 October 2010

2010-10-11T06:55:27Z

Adm at 14:35, 10 October 2010

2010-10-10T14:35:00Z

Adm at 03:56, 9 October 2010

2010-10-09T03:56:03Z

Adm: /* ポアソン分布 */

2010-10-08T08:31:17Z

‎ポアソン分布

Adm: /* 推定・検定 */

2010-10-08T08:25:10Z

‎推定・検定

Adm: /* 分布 */

2010-10-08T08:10:18Z

‎分布

Adm: /* 確率・統計 */

2010-10-08T08:10:04Z

‎確率・統計

Adm: /* 確率・統計 */

2010-10-08T08:05:09Z

‎確率・統計

@@ Line 4: / Line 4: @@
 =分布=
-==正規分布==
+* [[Aritalab:Lecture/Basic/Distribution|分布について]]
-よく見る釣鐘型の分布。どんな分布でも、その中から要素をランダムに抽出して和をとったものの分布は、正規分布に近づく（中心極限定理）。期待値が0, 分散が1になるようにスケーリングしたものを標準正規分布といい、<math>N(0,1)</math>と書く。
-−
-===正規分布表===
-標準正規分布表の見方。
-{|
-−
-{| class="wikitable"
-| z || 0.0 || 0.2 || 0.4 || 0.6 || 0.8
-|-
-| 0.0 || 0.5000 || 0.4207 || 0.3446 || 0.2743 || 0.2119
-|-
-| 1.0 || 0.1587 || 0.1151 || 0.0808 ||0.0548 || 0.0359
-|-
-| 2.0 || 0.0228 || 0.0139 || 0.0082 || 0.0047 || 0.0026
-|-
-| 3.0 || 0.0013 || 0.0007 || 0.0003 || 0.0002 || 0.0001
-|}
-| [[Image:JSBi-Std.png|200px]]
-|}
-表におけるzの値は上から順に左→右方向にみる。正規分布全体の面積を1.0としたときの、
-zから上側の面積を示している。例えば標準偏差が2.0以上の面積は0.0228、2.2以上の面積は0.0139。
-−
-==ポアソン分布==
-稀にしか起こらない離散的な事象を数える際に用いる分布。
-単位時間中に平均&lambda;回発生する事象が、ぴったりk回発生する確率を
-{|
-−
-:<math>P(N=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}</math>
-| [[Image:JSBi-Poisson.png|200px]]
-|}
-と定義する。
-−
-==二項分布==
-コイン投げをして表裏がでる回数を記録したときにできる分布。
-離散的な分布だが、フェアなコインを30回程度投げると正規分布で非常によく近似できる。
 =統計・推定=

@@ Line 1: / Line 1: @@
 =確率=
-* [[Aritalab:Lecture/Basic/Expectation|期待値・平均について]]
+* [[Aritalab:Lecture/Basic/Expectation|期待値と分散について]]
-* [[Aritalab:Lecture/Basic/Variance|分散・共分散について]]
 =分布=
 ==正規分布==

@@ Line 1: / Line 1: @@
 =確率=
-;例
+* [[Aritalab:Lecture/Basic/Expectation|期待値・平均について]]
-: E[フェアなサイコロ] = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 3.5
+* [[Aritalab:Lecture/Basic/Variance|分散・共分散について]]
-: E[フェアなコインで表が出る] = 1 * 1/2 + 0 * 1/2 = 0.5
-−
-;二つの確率変数X,Yがあったとき、和の期待値は、期待値の和に等しい。
-; ''E[X+Y]=E[X]+E[Y]''
-確率変数という言葉をサイコロと考えましょう。二つのサイコロの目を足した数の期待値（平均）は、個々のサイコロの期待値（平均）の和ということです。例えば、サイコロ2個を振って出る目を足した数の平均値を数え上げて求めるのは大変です。目の組み合わせが1,1の場合から6,6の場合まで数え上げなくてはなりません。
-しかし、上の式を用いれば簡単に求められます。
-−
-;例
-: E[サイコロ2個] = E[サイコロ1個] + E[サイコロ1個] = 3.5 + 3.5 = 7
-: E[コイン10枚で表が出る] = 10 * E[コイン一枚] = 10 * 1/2 = 5
-−
-では、サイコロの目を足すかわりに掛けた場合、目の期待値を簡単に求められるでしょうか。
-二つのサイコロが''独立''のときに限り、期待値は積についても分配できる。
-−
-;例
-:E[サイコロ2個の積] = E[サイコロ1個] * E[サイコロ1個] = 3.5 * 3.5 =
-−
-===分散===
-分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。
-:<math>V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2</math>
-X,Yが独立のときに限り、和の分散は分散の和に等しい。
-:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
-独立でない場合に生じる「ズレ」を共分散と呼ぶ。
-:<math>V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]</math>
-===共分散・相関===
-共分散は二組の対応する確率変数の間で、ばらつきが異なる度合いである。
-共分散の定義は
-:<math>Cov[X,Y]=E[ (X-E[X]) (Y-E[Y]) ]</math>
-となる。
-XとYに関して対称に定義されていて、XとYのばらつきの傾向が似ていれば大きな正の値になり、似ていなければ大きな負の値になる。XとYが独立であれば0になる。
-共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。
-:<math>Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})</math>
 ===ベイズ推定===

@@ Line 1: / Line 1: @@
 =確率=
-===平均===
+===期待値・平均===
-期待値とは、確率変数の取る値とその確率とをかけた総和である。フェアなサイコロのように全ての目が糖確率で出る場合は、目の数の期待値は（算術）平均に等しくなる。二つの確率変数X,Yがあったとき、和の平均は平均の和に等しい。
+期待値とは、確率変数（サイコロ）の取る値とその確率とをかけた総和です。
-:<math>E[X+Y]=E[X]+E[Y]</math>
+通常「平均」というと、全ての要素が等確率で生じているという前提があるので、数学では期待値という言葉を使います。期待値は E[確率変数] と書きます。
-X,Yが独立のときに限り、積についても分配できる。
-:<math>E[XY]=E[X]E[Y]</math>（ただしX,Yは独立）
+;例
 ===分散===
 分散とは確率変数がとる値のばらつきの度合いである。

@@ Line 20: / Line 20: @@
 共分散をXの標準偏差とYの標準偏差で割ったものが相関係数である。
 :<math>Corr[X,Y] = Cov[X,Y] /(V[X]^{1/2}V[Y]^{1/2})</math>
-===ベイズの定理===
+===ベイズ推定===
+ベイズの定理は以下のように表される。
-:<math>P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)</math>
+:<math>P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)</math>
 =分布=
 ==正規分布==
 よく見る釣鐘型の分布。どんな分布でも、その中から要素をランダムに抽出して和をとったものの分布は、正規分布に近づく（中心極限定理）。期待値が0, 分散が1になるようにスケーリングしたものを標準正規分布といい、<math>N(0,1)</math>と書く。
@@ Line 62: / Line 68: @@
 ==二項分布==
+=統計・推定=
-=推定・仮説検定=
+母集団から無作為に抽出された標本集団から、もとの母集団を統計的に推し量ることを推定という。
-母集団から無作為に抽出された標本集団から、もとの母集団を推し量ることを推定という。
+===回帰分析===
 ==点推定と区間推定==
 標本の値から、母集団の平均値や分散を予測することを点推定（数値を点として予測）と呼び、その推定がどれ位ずれているかを区間推定と呼ぶ。

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−	==~~推定・検定~~==	+	=推定・仮説検定=
		+	母集団から無作為に抽出された標本集団から、もとの母集団を推し量ることを推定という。
		+
		+	==点推定と区間推定==
		+	標本の値から、母集団の平均値や分散を予測することを点推定（数値を点として予測）と呼び、その推定がどれ位ずれているかを区間推定と呼ぶ。