Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function - Revision history

Adm: /* 平均と分散 */

2019-08-07T01:03:36Z

‎平均と分散

Adm at 01:17, 14 December 2012

2012-12-14T01:17:31Z

Adm: /* ポアソン分布 */

2012-12-14T01:03:56Z

‎ポアソン分布

Eve at 00:04, 9 September 2012

2012-09-09T00:04:09Z

Adm: /* まとめ */

2011-06-30T07:58:16Z

‎まとめ

Adm at 10:38, 15 June 2011

2011-06-15T10:38:32Z

Adm at 06:47, 7 July 2010

2010-07-07T06:47:31Z

Adm at 06:27, 5 June 2010

2010-06-05T06:27:47Z

Adm: /* 一様分布 */

2010-06-03T00:15:51Z

‎一様分布

Adm: Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generation Function moved to Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function

2010-06-02T22:05:33Z

Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generation Function moved to Aritalab:Lecture/Basic/Probability Generating Function

@@ Line 37: / Line 37: @@
 \begin{align}
 E(X) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k\mbox{Pr}(X=k) \\
-&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{x=1} \\
+&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot kz^{k-1} \bigg|_{z=1} \\
 &= G_X'(1)
 \end{align}
@@ Line 45: / Line 45: @@
 \begin{align}
 E(X^2) &= \Sigma_{k=0}^{\infty}k^2\mbox{Pr}(X=k) \\
-&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot \big( k(k-1) z^{k-2} + kz^{k-1} \big) \bigg|_{x=1} \\
+&= \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) \cdot \big( k(k-1) z^{k-2} + kz^{k-1} \big) \bigg|_{z=1} \\
 &= G_X''(1) + G_X'(1)
 \end{align}

@@ Line 98: / Line 98: @@
 \mbox{U}_n''(1) + \mbox{U}_n'(1) - \mbox{U}_n'(1)^2 = \frac{n^2-1}{12}.
 </math>
 ==ポアソン分布==
@@ Line 107: / Line 112: @@
 </math>
-確率母関数は
+離散型の確率母関数では
 <math>
@@ Line 121: / Line 126: @@
 = \lambda
 </math>
 ==指数分布==

@@ Line 103: / Line 103: @@
 ポアソン分布とは単位時間中に平均 <math>\lambda</math> 回発生する事象がちょうど ''k'' 回発生する確率をあらわしています。
-<math>\textstyle
+<math>
 \mbox{Pr}(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}
 </math>
@@ Line 109: / Line 109: @@
 確率母関数は
-<math> \textstyle
+<math>
-\begin{align}
+G(z) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k
-G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k
+= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!}
-= e^{-\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!}
+= e^{-\lambda} e^{\lambda z} = e^{\lambda (z-1)}
-= e^{-\lambda} e^{\lambda z} \\
-&= e^{\lambda (z-1)}
-\end{align}
 </math>
 平均と分散は
-<math>\textstyle
+<math>
 \mbox{G}'(1) = \lambda \quad \mbox{G}''(1) + \mbox{G}'(1) - \mbox{G}'(1)^2
 = \lambda
 </math>

@@ Line 113: / Line 113: @@
 G(z) &= \Sigma_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} z^k
 = e^{-\lambda}\Sigma_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda z)^k}{k!}
-= e^{-\lambda} e^{\lambda z}　\\
+= e^{-\lambda} e^{\lambda z} \\
 &= e^{\lambda (z-1)}
 \end{align}

@@ Line 3: / Line 3: @@
 ==まとめ==
-確率母関数 <math>G_X(z)</math> が与えられれば
+確率母関数 <math>G_X(z)</math> が与えられたとき
 * 平均 <math>E(X) = G_X'(1) \,</math>
 * 分散 <math>V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \,</math>
 ==確率母関数==

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Lecture/Header}}
 ==確率母関数==
-ある確率分布<math>Pr(X=k)</math>の確率母関数(probability generating function または pgf)を以下のように定義する。
+ある確率分布 '''Pr'''<math>(X=k)</math> の確率母関数 (probability generating function または pgf) を以下のように定義します。
 <math>\textstyle G_X(z) = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k)z^k</math>
-確率<math>\mbox{Pr}(X=k)</math>は全て正の値で''k''について全て足しあわせると1になる。
+確率<math>\mbox{Pr}(X=k)</math>は全て正の値で ''k'' について全て足しあわせると 1 になります。
 <math>\textstyle G_X(1)
@@ Line 13: / Line 20: @@
 = \Sigma_{k=0}^{\infty}\mbox{Pr}(X=k) = 1</math>
-逆に係数が非負で<math>G(1) = 1</math>であるようなべき級数<math>G(z)</math>があれば、それは何らかの確率母関数である。
+逆に係数が非負で <math>G(1) = 1</math> であるようなべき級数 <math>G(z)</math> があれば、それは何らかの確率母関数といいます。
 ===平均と分散===
-確率母関数を使うと平均と分散の計算が容易にできる。
+確率母関数を使うと平均と分散の計算が容易にできます。
 <math>\textstyle
@@ Line 41: / Line 48: @@
 ==一様分布==
-''n''次の一様分布(uniform distribution)とは確率変数が<math>{0, 1, \ldots, n-1}</math>の値を確率<math>1/n</math>でとるもの。
+''n''次の一様分布 (uniform distribution) とは確率変数が<math>{0, 1, \ldots, n-1}</math>の値を確率<math>1/n</math>でとるものです。
 <math>\textstyle
@@ Line 47: / Line 54: @@
 </math>
-確率母関数は以下の等比級数になる。
+確率母関数は以下の等比級数になります。
 <math>\textstyle
 \mbox{U}_n(z) = \frac{1}{n}(1 + z + \cdots + z^{n-1}) = \frac{1}{n}\frac{1-z^n}{1-z}
 </math>
-この式は<math>1-z</math>を分母に含んでしまうため、<math>\mbox{U}_n'(1)</math>や<math>\mbox{U}_n''(1)</math>を求める際に不都合である。そこでテイラーの定理を応用する。
+この式は<math>1-z</math>を分母に含んでしまうため、<math>\mbox{U}_n'(1)</math>や<math>\mbox{U}_n''(1)</math>を求める際に不都合です。そこでテイラーの定理を応用します。
 <math>
@@ Line 58: / Line 65: @@
 </math>
-この係数、つまり<math>G(z)</math>の導関数を以下の式と見比べればよい。
+この係数、つまり<math>G(z)</math>の導関数を以下の式と見比べます。
 <math>
@@ Line 85: / Line 92: @@
 ==ポアソン分布==
-ポアソン分布とは単位時間中に平均<math>\lambda</math>回発生する事象がちょうど''k''回発生する確率。
+ポアソン分布とは単位時間中に平均 <math>\lambda</math> 回発生する事象がちょうど ''k'' 回発生する確率をあらわしています。
 <math>\textstyle

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		+	{{Lecture/Header}}
		+
	==確率母関数==		==確率母関数==